Phát biểu cho các vành cũng tương tự với nhóm, trong đó thay nhóm con chuẩn tắc bằng ideal.

Định lý A (vành)

Đặt R và S là vành và φ : R → S là đồng cấu vành. Khi đó:

1. Hạt nhân of φ là ideal của R,
2. Ảnh của φ là vành con của S, và
3. Ảnh của φ đẳng cấu với vành thương R / ker(φ).

Đặc biệt là, nếu φ là toàn ánh thì S đẳng cấu với R / ker(φ).[15]

Định lý B (vành)

Đặt R là vành. Gọi S là vành con của R, và gọi I là ideal của R. Khi đó:

1. Tổng S + I = {s + i | s ∈ S, i ∈ I } là vành con của R,
2. Phần giao S ∩ I là ideal của S, và
3. Hai vành thương (S + I) / I và S / (S ∩ I) đẳng cấu với nhau.

Định lý C (vành)

Đặt R là vành, và I là ideal của R. Khi đó

1. Nếu A {\displaystyle A} là vành con của R {\displaystyle R} sao cho I ⊆ A ⊆ R {\displaystyle I\subseteq A\subseteq R} , thì A / I {\displaystyle A/I} là vành con của R / I {\displaystyle R/I} .
2. Mọi vành con của R / I {\displaystyle R/I} có dạng A / I {\displaystyle A/I} cho một số vành con A {\displaystyle A} của R {\displaystyle R} sao cho I ⊆ A ⊆ R {\displaystyle I\subseteq A\subseteq R} .
3. Nếu J {\displaystyle J} là ideal của R {\displaystyle R} sao cho I ⊆ J ⊆ R {\displaystyle I\subseteq J\subseteq R} , thì J / I {\displaystyle J/I} à ideal của R / I {\displaystyle R/I} .
4. Mọi ideal của R / I {\displaystyle R/I} có dạng J / I {\displaystyle J/I} cho một số ideal J {\displaystyle J} của R {\displaystyle R} sao cho I ⊆ J ⊆ R {\displaystyle I\subseteq J\subseteq R} .
5. Nếu J {\displaystyle J} là ideal của R {\displaystyle R} sao cho I ⊆ J ⊆ R {\displaystyle I\subseteq J\subseteq R} , thì vành thương ( R / I ) / ( J / I ) {\displaystyle (R/I)/(J/I)} đẳng cấu với R / J {\displaystyle R/J} .

Định lý D (vành)

Gọi I {\displaystyle I} là ideal của R {\displaystyle R} .Phép tương ứng A ↔ A / I {\displaystyle A\leftrightarrow A/I} là ánh xạ bảo toàn phép chứa giữa tập các vành con A {\displaystyle A} chứa I {\displaystyle I} của R {\displaystyle R} sang tập các vành con của R / I {\displaystyle R/I} . Hơn nữa, A {\displaystyle A} (vành con chứa I {\displaystyle I} ) là ideal của R {\displaystyle R} khi và chỉ khi A / I {\displaystyle A/I} là ideal của R / I {\displaystyle R/I} .[16]